Williams p+1 分解

Williams \(p+1\) 方法与 Pollard \(p-1\) 类似，但它使用 Lucas 序列，针对的是某个素因子 \(p\) 的 \(p+1\) 较光滑的情况。

设 Lucas 序列满足：

\[ V_0=2,\qquad V_1=P,\qquad V_k=PV_{k-1}-V_{k-2} \]

选择由小素数幂构成的指数 \(M\)。在参数适合且 \(p+1\mid M\) 时，通常有：

\[ V_M\equiv 2\pmod p \]

因此可以尝试：

\[ g=\gcd(V_M-2,n) \]

识别条件

• 已知模数 \(n\)；
• 至少一个素因子的 \(p+1\) 是 \(B\)-光滑数；
• Pollard \(p-1\) 失败，但题目暗示 \(p+1\) 具有特殊结构；
• 算法是否成功还与 Lucas 序列参数 \(P\) 有关，可能需要更换参数。

教学实现

下面用矩阵快速幂计算 \(V_k(P,1)\)，并实现 Williams 方法的第一阶段：

from math import gcd


def mat_mul(a, b, n):
    return (
        (a[0] * b[0] + a[1] * b[2]) % n,
        (a[0] * b[1] + a[1] * b[3]) % n,
        (a[2] * b[0] + a[3] * b[2]) % n,
        (a[2] * b[1] + a[3] * b[3]) % n,
    )


def lucas_v(index, p_value, n):
    if index == 0:
        return 2 % n
    result = (1, 0, 0, 1)
    matrix = (p_value % n, -1 % n, 1, 0)
    exponent = index - 1
    while exponent:
        if exponent & 1:
            result = mat_mul(result, matrix, n)
        matrix = mat_mul(matrix, matrix, n)
        exponent >>= 1
    return (result[0] * p_value + 2 * result[1]) % n


def primes_up_to(bound):
    sieve = bytearray(b"\x01") * (bound + 1)
    sieve[:2] = b"\x00\x00"
    for i in range(2, int(bound**0.5) + 1):
        if sieve[i]:
            sieve[i * i:bound + 1:i] = b"\x00" * (((bound - i * i) // i) + 1)
    return [i for i in range(2, bound + 1) if sieve[i]]


def williams_p_plus_1(n, bound=10_000, parameter=3):
    value = parameter % n
    for prime in primes_up_to(bound):
        power = prime
        while power * prime <= bound:
            power *= prime
        value = lucas_v(power, value, n)

    factor = gcd(value - 2, n)
    if 1 < factor < n:
        return factor, n // factor
    return None

该代码用于展示原理，不包含第二阶段和完整的参数筛选。实战应优先使用成熟工具，并尝试不同的 \(P\) 与界限 \(B\)。

与 Pollard p-1 的区别

方法	主要弱点	核心结构
Pollard \(p-1\)	\(p-1\) 光滑	乘法群与费马小定理
Williams \(p+1\)	\(p+1\) 光滑	Lucas 序列

防护

使用经过审查的 RSA 密钥生成实现，随机选择足够大的素数，并避免 \(p\pm1\) 呈现异常光滑结构。